Théorème fondamental : unicité

Démonstration de l'unicité (à l'ordre des facteurs près) de la décomposition en produit de facteurs premiers

Soit \(n \geqslant 2\) un entier.
On suppose que \(n\) admet deux décompositions en produits de facteurs premiers : 
\(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}=q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}...q_\ell^{\beta_\ell}\)  
avec \(p_1\) , \(p_2\) , ..., \(p_k\) nombres premiers distincts d'une part ;  \(q_1\) , \(q_2\) , ..., \(q_\ell\) nombres premiers distincts d'autre part ; et \(\alpha_1\) , \(\alpha_2\) , ..., \(\alpha_k\) , \(\beta_1\) , \(\beta_2\) , ..., \(\beta_\ell \in \mathbb{N}^\ast\) .

Montrons que, dans ces décompositions, les nombres premiers qui interviennent sont les mêmes.
Soit \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) .
Comme \(p_i\) divise \(n=q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}...q_\ell^{\beta_\ell}\) , on en déduit que \(p_i=q_j\) pour un \(j \in \left\lbrace 1;...;\ell \right\rbrace\) .
Ainsi, chacun des \(p_i\) est égal à l'un des \(q_j\) (avec \(j \in \left\lbrace 1;...;\ell \right\rbrace\) ).
Par symétrie, chacun des \(q_j\) (avec \(j \in \left\lbrace 1;...;\ell \right\rbrace\) ) est égal à l'un des \(p_i\) (avec \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) ).
On a donc \(k=\ell\) et, quitte à changer l'ordre des facteurs, on peut supposer que \(p_i=q_i\) pour tout \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) , si bien que  \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k}=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_k^{\beta_k}\) .

Montrons que, pour tout \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) , on a :  \(\alpha_i=\beta_i\) .
Soit \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) . 
Comme \(p_i^{\alpha_i}\) divise \(n=p_i^{\beta_i} \times r\) avec \(\mathrm{PGCD}(p_i^{\alpha_i};r)=1\) , on en déduit grâce au théorème de Gauss que \(p_i^{\alpha_i}\) divise \(p_i^{\beta_i}\) , et donc que \(\alpha_i \leqslant \beta_i\) .
Par symétrie, \(\beta_i \leqslant \alpha_i\) , et donc finalement \(\alpha_i=\beta_i\) .